В последнем абзаце этой заметки будет маленькая геометрическая задачка, но сначала хотелось бы вспомнить моменты, когда воображаемый размер сущности меняется очень существенно.

Если посмотреть честно на окружающий мир, то окажется, что мы (человечество) о нём очень мало знаем. Да, мы можем неплохо предсказывать, что именно произойдёт, но не можем быть абсолютно уверенными в этих прогнозах. По любому поводу мы имеем теорию, которую пока не смогли опровергнуть. Но мы не знаем, удастся ли когда-нибудь построить или найти пример, не укладывающийся в ставшую привычной модель (что уже много раз бывало). Биологи и химики, физики и астрономы – все они получили от предшественников определённый набор убеждений, на которых базируется их дальнейшая исследовательская деятельность. И это хорошо, так как без базы они не смогли бы двигаться дальше в понимании устройства мира. Но мы не знаем, когда в каждой из этих наук произойдёт очередная революция, которая существенно изменит все представления.

Например, мы привыкли считать, что ничто не может двигаться быстрее скорости света. Скорее всего, каждый из нас это проверить или даже толком понять не может, но такая убеждённость есть внутри, верно? Для меня это долгое время было фактором, существенно ограничивающим размер интересной части вселенной. Конечно, забавно бывает подумать о том, что где-нибудь ещё может быть планета, на которой сможет зародиться жизнь, интересно поразмышлять о внеземных цивилизациях. Но я понимал, что на расстоянии сотни световых лет таких планет почти наверняка нет, а нормальной внеземной цивилизации вылетать к нашей планете более ста лет назад как-то странно (не были мы достаточно развитыми, чтобы с кем-либо общаться). Другими словами, если к нам что-то может прилететь, то
1) оно летело мимо случайно (на мой взгляд, неинтересный и совсем маловероятный сценарий),
2) оно было очень развитым уже давно и вылетело к нам заранее (обнаружив перспективную планету с неразвитой жизнью?),
3) оно умеет перемещаться со скоростью, большей скорости света.

Честно говоря, долгое время я не видел третьей возможности, потому что публикации о «переднем крае науки спереди» так поражали, что критичность куда-то уходила. Здесь сработала масса эффектов, но речь не о них. Просто я хорошо помню, как считал, что мы живём в огромной вселенной, полной всякого интересного, но у нас руки коротки вырваться из нашего маленького шарика (радиусом всего несколько световых лет). А потом появилась надежда, что это всего лишь наше слабое понимание устройства мира не позволяет нам надеяться на взаимодействие с такими же запертыми в маленьких шариках, но находящимися далеко от нас. Если так, то размер нашего крошечного мирка может радикально вырасти.

Другой случай переосмысления размеров был у меня после освоения курсов всяких дискретных наук (полгода назад мы уже погружались в мир машин Тьюринга). Идея состоит в следующем: если человечество достаточно башковито, то оно сможет выжить (или хотя бы прожить ещё несколько тысячелетий). При этом, скорее всего, оно продолжит развивать компьютерные технологии, постепенно достигая невероятной вычислительной мощи. Что можно сделать с этими вычислительными ресурсами? Например, можно попробовать запустить на них симуляции других миров… И помогать им не уничтожить себя (чтобы было интересно за ними наблюдать). Видели же фильмы «Матрица», «Тринадцатый этаж» и так далее? Фантасты уже давно об этом думают, поэтому, как только суперкомпьютеры нужной мощности будут созданы, мы на них что-то такое запустим.

А теперь возникает следующий логичный вопрос:
Вот мы живём тут себе спокойненько, как было сказано выше, в крошечном шарике с радиусом всего несколько световых лет, ничего не подозреваем… А вдруг мы вовсе не верхняя цивилизация в цепочке симуляций? Какие у нас есть основания рассчитывать на то, что выше нас нет таких же (или совсем других) людей, которые тоже круто развили свои компьютеры и тоже смогли не уничтожить себя? Вообще говоря, можно даже представить сценарий, в котором наш мир считается на чьём-то смартфоне в фоновом режиме…

И такой взгляд опять невероятно меняет размер интересной части мира. Владелец компьютера, реализующего наш мир, может у нас что угодно менять (а он в нашей симуляции запросто может двигать предметы со скоростью выше скорости света и творить прочие нереальные вещи). А может никак себя не выдавать, что мы даже никогда не догадаемся о его существовании. И оба сценария интересны для исследователя

А теперь обещанная (классическая) задачка о сопоставлении размеров:
Представьте себе треугольник, все высоты которого меньше единицы. Может ли у такого треугольника площадь быть больше 100? А больше 1000000?

Хорошего дня!

Третье место – Анастасия, учащаяся в Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого. Она чуть было не выиграла главный приз, отправив ответы на 48-ой минуте конкурса, но допустила досадную ошибку: в анаграммах ей померещился Павел Абрамов вместо Сергея Баранова. Через 25 минут после этого Анастасия обнаружила эту неточность, за что и получает 2 года VIP-доступа к системе личных финансов «Четыре конверта».

И меня, и Анастасию очень впечатлило стремительное выступление kgeorgiy – этот кандидат технических наук из Санкт-Петербурга прислал решения всех математических задач на 20-ой минуте. Ещё через час он справился с анаграммами, став шестым в общем рейтинге. А так как Анастасия пользуется другой системой учёта личных финансов, она решила передать свой приз именно в руки kgeorgiy (который пока не ответил на мои письма, поэтому выигрыш его ещё ждёт).

Второй место – Жеребцов Николай, закончивший механико-математический факультет МГУ, а сейчас работающий программистом в Google. Николай тоже чуть было не стал чемпионом: он отстал от победителя всего на три минутки, прислав решения на 73-ей минуте конкурса. Но, как он с сожалением сообщил, он слишком поздно увидел заметку с заданиями конкурса, поэтому чуть-чуть опоздал со своими ответами. Николай тоже получил два года VIP-доступа к системе личных финансов «Четыре конверта».

Первое место – Тимур Поркуян из Киева. На работе он занимается системами, связанными с интернет-рекламой. В остальное время Тимур тягает тяжести и играет на разных инструментах. Скоро у него появится новый вид досуга, потому что Тимур выиграл волейбольный мяч Mikasa MVA 200 от интернет-магазина PROBALL. А раз так, то он будет осваивать этот интереснейший спорт, дающий приятную нагрузку одновременно и телу, и мозгам. Тимур тоже получил приз от Макса Крайнова – три года VIP-доступа к системе личных финансов «Четыре конверта».

Теперь немного статистики.

В конкурсе принимали участие представители следующих городов (по алфавиту): Барнаул, Великий Новгород, Гомель, Киев, Москва, Нижневартовск, Новосибирск, Псков, Санкт-Петербург, Ступино, Ярославль.

Самый молодой участник – 17 лет, самый взрослый – 32 года, средний возраст – 24 года и 4 месяца.

Большинство участников или уже имеют высшее образование, или сейчас его получают, или вот-вот начнут получать. И большинство работает в области информационных технологий.

Оказалось, что все задачки способны сопротивляться: кого-то смогли смутить анаграммы, кто-то долго решал автобусный билетик, а для кого-то самой сложной оказалась задачка о собаке на цепи. Поэтому в следующий раз я приготовлю чуть более интересную задачку на разрезание и билетик, в котором будем мало только сложения и умножения. Это оправдано хотя бы по той причине, что было несколько участников, которые просто не заметили никакой сложности в этих задачках

Пожалуйста, напишите в комментариях свои пожелания по организации следующих конкурсов. Возможно, имеет смысл изменения дня недели или времени проведения? Стоит ли делать более пяти заданий или это оттолкнёт? Какого типа задач не хватало?

Хорошего вам окончания недели!

Традиционно предлагаю новым читателям ознакомиться с некоторыми материалами из архива блога – за сентябрь прошлого года. В тот месяц мы говорили о геометрии и вероятностях, но начали с вопросов здоровья:

1. Хорошая осанка – это то, что легко сделать в детстве, но почти невозможно исправить во взрослом возрасте. И именно взрослый человек начинает отчётливо ощущать, как важна хорошая спина для здоровья. Если нет возможности обеспечить нормальную парту в школе, то хотя бы дома необходимо оборудовать правильное место для школьника, чтобы он не скрючивался в те годы, когда организм растёт со страшной силой.

2. Сомневаетесь в качестве суши-баров, но любите суши? Тогда можно сделать суши дома. Даже если свежесть магазинной рыбы пугает, то всегда можно использовать что-то альтернативное. Можно кушать вкусно, здорОво и весело!

3. Ещё мы говорили о чрезмерно универсальных решениях, которые легко приводят к ошибкам. Иногда лучше иметь простое и негибкое, но работающее, чем очень универсальное.

4. А после этого мы перешли к доказательству того, что все прямоугольные треугольники являются равносторонними. Более того, тем, кто нашёл ошибку в «доказательстве», была предложена следующая разновидность этой же задачи, в которой всё ещё веселее.

5. А закончили мы тремя признаками надвигающейся эры роботов. Электронные системы берут на себя функции людей: поют, собирая стадионы, размножаются, используют человеческие мозги для решения своих задач. Что будет дальше?

Хорошего дня!

Запись о заметках прошлых месяцев стала традиционной, поэтому перечислю предыдущие выпуски: интересное в августе, интересное в июле, интересное в июне, интересное в мае, интересное в апреле, марте, в феврале, январе 2009 года, декабре, ноябре, октябре, сентябре, августе, июле и июне, интересное в первые три месяца жизни блога.

Традиционно предлагаю новым читателям ознакомиться с некоторыми материалами из архива блога – за август прошлого года. В тот месяц мы много говорили о математике, но начали с философских вопросов:

1. В заметке «А кому тогда верить?» речь шла об уязвимости нашего мозга. Мы легко покупаемся на визуальные и звуковые обманы, запутываемся в показаниях природных температурных датчиков на коже и так далее. Но не всё так плохо, потому что мы имеем очень сложный мозг. Да, его можно обмануть. Но он способен об этом знать, поэтому вполне может правильнее обработать информацию.

2. Многие привычно опасаются инфляции в финансовой сфере, но разве инфляция печатного слова не опаснее? На упаковке крупно написано «не содержит консервантов», а в составе обязательно будет какой-нибудь гидросульфит натрия. Актёр из телевизора обещает, что в такой-то страховой компании потрясающий сервис, но внезапно выясняется, что туда невозможно дозвониться в течение 30 минут. Слова теряют вес: мы каждый день слышим о каких-то выгодных предложениях, но на девяносто десять процентов уверены, что эти слова не имеют отношения к реальности.

3. А в заметке «Математическая индукция» мы начали рассматривать красивейший метод, позволяющий очень изящно решать огромные классы задач. Потом мы разобрали решение предложенной задачи о тримино, после чего начали вникать в «доказательство» теоремы о том, что все лошади планеты имеют лиловый цвет. Конечно, в том доказательстве есть большая неаккуратность. И самостоятельный её поиск позволяет хорошо прочувствовать метод математической индукции, что гораздо полезнее решения десяти однотипных задач.

4. И последнее – в записи «Разбор неопределённости (задача о двух конвертах)» сформулирован парадокс двух конвертов и идеи, которые могут поспособствовать его пониманию. Тема эта достаточно сложная для обсуждения, потому что требует большой аккуратности в формулировках. Часто люди вкладывают совершенно разные смыслы в один термин или жонглируют словами, значение которых не могут объяснить. Из-за этого найти истину не очень легко. Впрочем, все желающие смогли это сделать в комментариях (число которых перевалило за две сотни).

Хорошего дня!

Запись о заметках прошлых месяцев стала традиционной, поэтому перечислю предыдущие выпуски: интересное в июле, интересное в июне, интересное в мае, интересное в апреле, марте, в феврале, январе 2009 года, декабре, ноябре, октябре, сентябре, августе, июле и июне, интересное в первые три месяца жизни блога.

Полтора года назад мы начинали говорить о статье «Плач математика» Пола Локхарда. А на прошлой неделе её перевод стал очень популярен в русском сегменте интернета (около пяти раз мне в комментарии присылали ссылку), поэтому предлагаю вернуться к теме квалифицированного взгляда на образование. Кстати, если вы ещё не прочитали эту короткую статью Пола Локхарда, то, полагаю, это стоит сделать, чтобы лучше понимать, куда можно загнать образование. Но на этом рано останавливаться, так как статья «Плач математика» рассказывает нам об американском образовании, а вокруг есть масса всего другого. Поэтому ниже собраны ссылки на качественные статьи, развивающие эту тему.

Важный и естественный момент в разговоре о математическом образовании – логичность. Если уж математики взялись спорить о том, как правильнее показывать красоту своей любимой науки, то они постараются остаться в рамках чётких аргументов, почти не поддаваясь эмоциям. Большие мастера этого дела очень сжато и чётко изложили своё мнение и его обоснование (кстати, к их статьям мы уже обращались: и к Шарыгину, и к Арнольду). Если вы интересуетесь вопросами образования, если хотите взглянуть глазами опытных людей (знающих особенности образования в России, США, Франции и других странах) на настоящие проблемы в этой области, то рекомендую следующие две ссылки:
- Статьи Шарыгина И.Ф. (можно начать с «В чём провинились математики?», например),
- Статьи В.И. Арнольда (опять же, можно начать с «Нужна ли в школе математика?»).

Это всё было скорее про математику, чем про школу вообще. Поэтому любителям блога «Кляксы в классном журнале» (который вела директор школы, но, увы, давно перестала обновлять), а также всем, кто хочет лучше понимать, где учатся или будут учиться его дети, могу порекомендовать другую интересную подборку статей «Будни директора школы».

Кстати, недавно мы вспоминали о важности начальной школы, но ведь есть ещё и масса важной работы с более старшим возрастом. Для интересующихся темой взросления есть специальная подборка статей Владимира Ланцберга (рекомендую прочитать хотя бы «Любите детей долго и нудно»). Это совсем другой, но тоже очень важный для понимания взгляд.

Получилось достаточно много ссылок, на их анализ может уйти не так уж мало времени. Но плюс тут тоже есть: это отобранные тексты, написанные мастерами своего дела, которые много думали о гранях сложнейшей проблемы. Я к тому, что здесь есть во что вникать, если, конечно, хочется лучше понимать, почему в образовании нельзя «рубить с плеча», принимая «эффективные и очевидно правильные решения».

А какие содержательные тексты об образовании знаете вы?

Традиционно предлагаю новым читателям ознакомиться с некоторыми материалами из архива блога – за июль прошлого года. В тот месяц мы говорили о различных технических тонкостях:

1. В заметке «Поддерживать связь» речь шла о том, как легко можно серьёзно переплатить за роуминг в своей стране. Даже если в рекламе постоянно говорят, что цены едины во всех областях, необходимо помнить, что это так, пока общение производится в сети своего оператора. А из неё иногда очень легко выскочить.

2. Ещё в июле мы вспомнили об обратимости и о том, что предметы не умеют тренироваться. Человеку можно постепенно повышать нагрузку (естественно, помня о массе тонкостей), а бездушной железяке – нельзя. Дело в том, что из-за превышения допустимого усилия может произойти опасная деформация, которая не позволит в будущем надёжно работать даже с нормальными нагрузками. И на эти грабли, увы, очень многие наступают.

3. А в заметке «Красотою мир спасётся» мы рассматривали следующую проблему: иногда люди делают что-то для красоты/приметы, забывая о смысле/эффективности. И поскольку это излишество было сделано «из-за душевного порыва», то его как-то не рассматривают, пытаясь понять, почему всё сломалось. В заметке приводится пример программы на Си, которая из-за любви к прекрасному странно работает. А понять эту странность я предлагаю вам

4. И последнее, но важное – в записи «Пешеходов беречь нельзя пропускать» описана серьёзная проблема, усилившаяся из-за повышения штрафов за помеху пешеходу на пешеходном переходе. Расскажите сценарии из этой заметки своим взрослым родственникам и знакомым детям, потому что они часто страдают из-за этой простой ошибки. Пешеход, имеющий водительские права, скорее всего, не спровоцирует такие ДТП, потому что знает, как много умников на дорогах. Но дети и бабушки с дедушками этих тонкостей не понимают, поэтому очень обидно подставляются. И именно поэтому им надо несколько раз всё объяснить.

Хорошего дня!

Запись о заметках прошлых месяцев стала традиционной, поэтому перечислю предыдущие выпуски: интересное в июне, интересное в мае, интересное в апреле, марте, в феврале, январе 2009 года, декабре, ноябре, октябре, сентябре, августе, июле и июне, интересное в первые три месяца жизни блога.

И это очень существенный момент. Во многих других видах спорта соперники почти ненавидят друг друга (соответственно, болельщики тоже желают игрокам вражеской команды всяческих мелких и крупных неприятностей). Но в волейболе часто бывает совершенно наоборот: дух волейбола призывает радоваться за соперника, если у него хорошо получился очередной момент. Естественно, после этой радости должен последовать достойный ответ команды, которая проиграла очко, чтобы уже порадоваться за себя. Поэтому команды после матча искренне благодарят друг друга за удовольствие от интересной игры.

Для меня одним из символов такой красивой игры является Сергей Баранов. Кроме того, что этот 208-сантиметровый диагональщик показывал потрясающие результаты (забавный момент: он не успел побыть мастером спорта, потому что из перворазрядников сразу перешёл в мастера спорта международного класса), он не умел унывать. Даже если в команде начинался какой-то разлад, какой-то спад настроя, потеря куража, то он играл в полную силу, тем самым оживляя свою команду. Очень ярко это было видно на Олимпийских играх 2004-го года. Я не спорю, Пабло Меана, Вадим Хамутцких, Алексей Вербов, Жиба и многие другие талантливые игроки тоже умеют завести команду (психология в волейболе очень важна). Но сколько я видел Сергея Баранова, он никогда не выражал сомнений в возможности победить. Неважно, какой счёт на табло, он играл как на тренировке — предельно сконцентрированно, не позволяя себе переживать из-за прошлых ошибок.

Приведу другой пример тёплого и радостного взаимодействия. Однажды мне повезло наблюдать следующий момент в разминке Александра Богомолова и Алексея Вербова перед важной игрой:

• Делалось стандартное упражнение в паре: первый игрок выполнял удар во второго, после чего тот принимал мяч, стараясь довести его на первого, который давал пас второму. В этот момент игроки сразу менялись ролями — теперь бил второй.
• В один из разов после удара нашего потрясающего либеро Алексея Вербова, наш центральный Александр Богомолов не очень хорошо обработал мяч, поэтому тот полетел в трибуны, располагавшиеся рядом.
• Зрители не растерялись (в первых рядах, естественно, сидят люди, любящие волейбол), поэтому постарались дать пас Алексею.
• Алексей тоже не растерялся, поэтому с этой достаточно удобной передачи опять атаковал Александра, который на этот раз хорошо довёл мяч обратно на Вербова.
• Алексей дал пас, Александр ударил, и тут наш либеро, широко улыбаясь, специально доводит мяч на того же самого зрителя на трибуне. Тот, конечно же, не растерялся и в этот раз, успешно выполнив передачу на Богомолова.

Так они ещё некоторое время поиграли со зрителями, вызывая радостные улыбки и весёлый смех болельщиков и других игроков обеих команд. Важно, что люди пришли не за «победой любой ценой», а за красивым волейболом и человеческой игрой.

Где-то в середине января я опять увидел, как Сергея Баранова выпустили в основном составе на достаточно ответственной игре. Дело в том, что последние лет пять его почти не было видно из-за серии неприятных травм. Иногда он выходил на замены, чтобы усилить блок, но сильнее его не загружали, потому что процесс восстановления после травм и операций должен проходить правильно, чтобы хоть когда-то закончиться. И вот Сергей снова в строю!

Несмотря на то, что мне неприятен такой высокий спорт, потому что многих людей он травмирует на всю жизнь, в этом возвращении неунывающего и собранного Сергея Баранова мне хочется видеть сигнал к началу широкого и массового движения от спорта ради инвалидности к спорту ради здоровья. Картинка сверху показывает, что именно должны пропагандировать Олимпийские игры — пользу и здоровье. Не «обогнать всех-всех», а выступить предельно хорошо. Это разное!

Завершая эту заметку, хочу порекомендовать русскоязычный сайт с говорящим названием 18×9.com (да, это размер волейбольной площадки). Его автор старается структурировать интересные и полезные тексты о волейболе, многие разделы сайта уже неплохо насыщены материалами. Судя по активности автора (он спросил у меня разрешение на перепубликации заметок из оды волейболу), он будет рад конструктивной критике и советам по развитию ресурса. Надеюсь, вы тоже найдёте там интересные материалы

Желаю вам хорошего окончания недели!
Играйте в волейбол!

Что нового с прошлого дня рождения? Многое:

• написано 125 новых заметок и получены тысячи интереснейших комментариев
• преодолён психологический рубеж в 3000 подписчиков
• мы вошли в две сотни самых популярных блогов по версии Яндекса

Какие планы?

• Проводить больше интеллектуальных конкурсов (требует дополнительного времени, но обязательно будет!)
• Чаще рассматривать интересные физические, биологические и психологические эффекты (последний год я «зациклился» на математике, хотя вокруг так много интересного)
• Писать короче, но понятнее (это направление, над которым я работаю последнее время)

Когда-то блог «Привычка не думать» был совсем маленьким. Для развития ему была необходима поддержка. И она всегда поступала! Сейчас блог гораздо больше, но это означает, что требуется больше сил (конечно, это не просто так, ведь удовольствия тоже больше). Я боюсь, что не смогу перечислить всех, кто помогал блогу последнее время, потому что очень многие вложились. Но основных участников необходимо вспомнить.

Итак, благодарности (в порядке, обратном хронологическому):

• Спасибо Артемию Лебедеву за поддержку -тся/-ться тренажёра и создателю сайта tsya.ru! Кстати, тут всё достаточно забавно получилось, поэтому я позволил себе вольную интерпретацию событий на юморном блоге.
• Алекс Экслер своевременно обратил внимание на сложности в новом терминале Шереметьево (насколько я знаю, острая фаза там уже давно прошла, поэтому можно спокойнее летать),
• Отдельно благодарю ZakharS за невероятную поддержку! Его запись на Хабре очень сильно повлияла на блог. Всем бы таких подписчиков! И спасибо всему хабрасообществу за тёплый приём
• Спасибо двум серьёзным авторам серьёзных блогов: Максу Крайнову и Алексею Глазкову! Постоянная поддержка в течение двух лет – это очень важно.
• Спасибо всем авторам блогов и читателям, оставившим тёплые комментарии, порекомендовавшим блог друзьям или написавшим мне доброе письмо! Это очень приятно и важно!

Хочу отдельно поблагодарить читателей, активно подключавшихся к дискуссиям в комментариях. Я не всегда успеваю отвечать на вопросы, поэтому здорово, что люди, уже разобравшиеся в задачке или объяснении, готовы помочь тем, кто чуть-чуть не понял. Спасибо вам за быстрые и точные реакции!

И напоследок покажу интересный график взаимоотношения полов (другую статистику можно посмотреть в одной из прошлых заметок). Как видите, доля мужского населения была резко поднята хабровчанами и читателями Экслера, но женская сборная постепенно восстанавливает свои позиции

Хорошей вам недели!

Традиционно предлагаю новым читателям ознакомиться с некоторыми материалами из архива блога – за июнь прошлого года. В тот месяц мы говорили о взаимодействии людей и образовании:

1. В заметке «Об изменчивости» речь шла о том, что людям свойственно корректировать свои воспоминания, не отдавая в этом отчёта даже себе. В частности, так получается из-за того, что обычно говорят о какой-то конкретной личности, а не о личности в данный конкретный момент. Но люди-то меняются! Одного часа может не пройти с момента произнесения какой-то фразы, а человек уже поменяется – станет другим, не помнящим, что он что-то там говорил. Этому трудно противостоять, но надо хотя бы понимать.

2. Ещё в июне можно было коротко поговорить о ЕГЭ 2009. Ситуация стала более предсказуемой, проявились некоторые плюсы (например, дети сильнее защищены от самодурства отдельных учителей), но непрозрачные ухищрения с растяжениями шкал удивляют и огорчают. Через полгода можно будет сравнить эти ощущения с результатами ЕГЭ 2010 года.

3. А в заметке «Нечёткие формулировки» мы рассматривали пару задачек с очень короткими, но не ясными условиями. Проблема в том, что такие задачи не могут быть решены, например, компьютером. Но десятки тысяч людей понимают их с одного взгляда, умея отличать верное понимание от ошибочного. Более того, хорошая задачка обладает следующим свойством: решив её, не приходится спрашивать чьего-то подтверждения, потому что правильное решение само выглядит правильным.

Хорошего вам дня!

Запись о заметках прошлых месяцев стала традиционной, поэтому перечислю предыдущие выпуски: интересное в мае, интересное в апреле, интересное в марте, в феврале, январе 2009 года, декабре, ноябре, октябре, сентябре, августе, июле и июне, интересное в первые три месяца жизни блога.

Продолжаем делать добрые дела вместе с вами:
- в августе прошлого года вы исправили статью википедии, содержавшую явный бред по поводу задачи о двух конвертах,
- на этой неделе, разбираясь с сектантами на острове Беззеркалья, вы исправили другую статью википедии. И это тоже добавило адекватности всемирной энциклопедии (жаль, что ту статью пока никто не перевёл на русский язык).

Но можно ли на этом остановиться? Увы, плюсы открытой википедии часто становятся её минусами: любой человек, не разбирающийся в предмете, может внести в неё что угодно. И это делается не со зла, а из-за искренней убеждённости в своей правоте (логические парадоксы умеют перетягивать в неправильную сторону). А понимающим людям часто даже не приходит в голову читать подобные статьи, поэтому ошибки такого типа копятся (а потом тиражируются, например, журналистами).

В наш век быстрого распространения бреда информации есть два варианта: уметь фильтровать откровенную ложь или слепо следовать за красивыми словами тех, кто даже не понимает своей собственной позиции.

На мой взгляд, разбор логических, геометрических и вероятностных задач очень полезен. Дело в том, что человек, разобравшийся с подобным решением, уже не так легко верит на слово красивым высказываниям о вероятностях и математических ожиданиях, не покупается на цветные графики и чертежи. А это несколько ограничивает влияние манипуляторов на действия большинства.

Поэтому сегодня я предлагаю вернуться к парадоксу двух конвертов, чтобы разобрать один частный случай. Я уверен, что многие из вас сами могли найти, понять и исправить ту ошибку. Но уже несколько месяцев она висит в статье википедии, поэтому я предлагаю в неё вникнуть чуть подробнее.

Коротко напомню постановку задачи: есть два конверта, в одном из которых находится сумма вдвое большая, чем в другом. Игрок выбирает один конверт, пересчитывает в нём деньги, а после этого решает, оставить его себе, или взять другой.

Интуиция подсказывает, что если в первом вытянутом конверте находится X денег, то во втором с раными вероятностями будет X/2 и 2X. В прошлом году мы разобрались с этим заблуждением. Но до сих пор поступают комментарии от людей, которые не очень уверенно умеют рассчитывать вероятности сумм во втором конверте для частных случаев.

Да и в упомянутой статье википедии содержатся неверные выкладки. Цитата: «Например, если предположить, что сумма в меньшем конверте равномерно распределена между 10 руб. и 100 руб., очевидно такое:
* Если выпало 15 руб., в другом конверте определённо 30 руб. (7,5 быть не может). Поэтому требуется брать другой конверт.
* Если выпало 25 руб., в другом может быть как 12,5 руб., так и 50 руб., но вероятность второго больше — желательно брать другой конверт.
* Если выпало 90 руб., в другом может быть как 45 руб., так и 180 руб., при этом больше вероятность первого — лучше не брать другой конверт.
* Если выпало 100 руб., в другом конверте определённо 50 рублей — ни в коем случае не брать другой конверт».

Вам тоже кажется, что последние три пункта как минимум странные? И то, что они предваряются словами, «очевидно такое», никак не улучшает ситуации.

Давайте честно рассчитаем вероятности! В меньшем конверте находится случайное число от 10 до 100, поэтому в большем – от 20 до 200. Это значит, что вытянув конверт, мы можем получить какое-то число от 10 до 200. Давайте разделим этот интервал на три части:
1) 10 <= X < 20,
2) 20 <= X <= 100,
3) 100 < X <= 200.

Чем хороши первый и третий диапазоны? Тем, что попав в них (не важно с какой вероятностью), мы точно знаем, сумма в нашем конверте X является большей из двух сумм в конвертах или меньшей. Это значит, что если X<20 или если X>100, то мы на 100% уверены, что делать.

Осталось разобраться со средним диапазоном. Давайте поймём, как формируются конверты:
- кто-то умеет генерировать случайные велечины Y от 10 до 100, равномерно распределяя числа в этом диапазоне,
- кто-то другой берёт эти числа, чтобы сформировать пару для конверта (Y, 2Y) – это наши равновероятные элементарные исходы,
- мы (игрок) вытягиваем число X, открыв случайный из этих двух конвертов.

И как же было получено это число X? Очень просто – оно оказалось большим или меньшим в сгенерированной паре (Y, 2Y). Другими словами, нам досталась одна из пар (X, 2X) или (X/2, X). А мы вытянули из неё число X.

Но мы же знаем, что меньшее число в этих парах – случайная величина, имеющая равномерное распределение на диапазоне от 10 до 100. Это означает, что все пары (Y, 2Y) появляются с равными вероятностями. И из этого следует, что вероятности генерации пар (X, 2X) и (X/2, X) одинаковы. Поэтому, если уж нам досталось число X от 20 до 100, то вероятности того, что во втором конверте будет 2X или X/2 равны.

Поэтому правильный вывод состоит в следующем:
- Если вытянутое число больше 100, то менять конверт не следует, так как это гарантированно приведёт к уменьшению выигрыша,
- Если вытянутое число меньше 20, то обязательно надо сменить конверт, так как это гарантирует увеличение выигрыша,
- В остальных случаях тоже стоит сменить конверт, так как вероятность удвоения суммы равна вероятности её сокращения в два раза, но возможный выигрыш при замене больше возможного проигрыша.

Всё это очень просто и для дискретного случая (когда в конвертах могут быть только целые числа, например). Только тогда придётся вникать в чётность (так как нечётный X однозначно указывает на то, что следует поменять конверт), а это сделает решение чуть более громоздким.

Хорошего вам дня и интересного чтения энциклопедий!